Знак умножения

×

⋅

Знак умноже́ния — математический знак операции умножения. В качестве знака умножения используется один из следующих символов^[1]^[2]:

Точка (посередине строки)
- ⋅^[3]^[4]: $a \cdot b$ . В некоторых шрифтах знак стоит на более высокой позиции в строке (используется math centerline вместо text baseline), также может быть кругом (тогда как начертания 00B7 могут быть разными в разных шрифтах) или отображаться квадратной точкой. Unicode отмечает знак более предпочтительным в математическом использовании^[4] по сравнению с 00B7. В ISO 80000-2:2009 входило нормативное приложение Annex A «Clarification of the symbols used» с таблицей A.1, в которой для умножения (2-9.5) был явно указан «dot operator 22C5». В ISO 80000-2:2019 такого приложения уже не содержалось. ГОСТ 54521-2021 также содержит указание использовать знак точки^[1].
- часто в простой текстовой записи используют интерпункт 00B7, который легче набрать ·
Косой крестик ×^[5]: $a \times b$ . Используется преимущественно в младших классах школы.

В языках программирования и информатике умножение часто обозначается звёздочкой: a * b. Иногда для умножения с плавающей запятой используется символ «circled times»^[6]: $a \otimes b .$

До появления компьютеров в текстах, напечатанных на пишущей машинке, знак умножения мог изображаться как строчная буква х или x.

Если второй сомножитель обозначен буквой, знак умножения обычно опускается^[2]; то же, если второй сомножитель заключён в скобки или обозначает имя функции (в последнем случае, во избежание ошибок, может понадобиться пробел между сомножителями). Примеры:

a b; 2 x; A \sin (φ)

Присутствующее умножение может быть обозначено невидимым символом ⁢ U+2062 invisible times^[7].

История

Самый старый из используемых символов умножения — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон)^[8]^[9]. До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Симоном Стевином. Позднее предлагались и другие обозначения^[10]^[11]^[12]:

латинское слово in (Франсуа Виет);
символ прямоугольника в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634);
звёздочку (Иоганн Ран, она появилась в его книге «Teutsche Algebra», 1659);
букву x (в одном из трудов Валлиса,1655); возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква x, и косой крестик.

Готфрид Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (1698 год)^[8], чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд^[12]^[10].

Использование

Символ ×

Кроме умножения чисел, символ $\times$ используется во многих других ситуациях. Примеры.

Векторное произведение двух векторов^[13]: $\vec{a} \times \vec{b} .$
Декартово произведение двух множеств^[14]: $A \times B .$
Число строк и столбцов в матрице: $n \times n .$
Для ряда (группы) числовых значений одной величины используется знак ×. Например, геометрический размер (габариты) объекта 50×10×10 мм^[15].
Используется в языке программирования APL как унарный оператор для обозначения функции знака (sgn).
Статистическое взаимодействие между двумя независимыми переменными.
Код увеличения, например — $10 \times$ — означает десятикратное увеличение.
В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.
В советском варианте шахматной нотации знак умножения служит для обозначения мата.

Для ввода с клавиатуры символа $\times$ в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание^[16] Alt+0215.

Символ интерпункта

Центрированная точка используется в некоторых древних и современных языках для словоразделения, указания особенностей произношения и т. д. В математике она может обозначать скалярное произведение векторов, произведение матриц и других математических объектов.

Для случая устаревшего британского десятичного разделителя «raised decimal point» Юникод отмечает предпочтительным использование символа 00B7 middle dot^[7].

Для ввода с клавиатуры символа интерпункта в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание Alt+250 (для жирной точки — Alt+0149)^[16].

Кодировка

Знаки пунктуации^[4]:

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника^[17]	LAΤΕΧ
*	U+002A	asterisk	`*`	`*`	`&ast;`	*
•	U+2022	bullet	`∙`	`•`	`•` `&bullet;`
·	U+00B7	middle dot	`·`	`·`	`·` `&middot` `·` `·`	—

Математические операторы:

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника^[17]	LAΤΕΧ
×	U+00D7	multiplication sign	`×`	`×`	`×` `&times`	`\times`
⁢⁢	U+2062	invisible times¹	`⁢`	`⁢`	`⁢` `⁢`
∗	U+2217	asterisk operator	`∗`	`∗`	`&lowast;`	`\ast`
∙	U+2219	bullet operator	`∙`	`∙`	—	`\bullet`
⋅	U+22C5	dot operator	`⋅`	`⋅`	`⋅`	`\cdot`

¹ используется, чтобы сомножители не разбивались на разные строки, переносились вместе^{[источник не указан 1583 дня]}.

Дингбаты^[англ.] (оформление):

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника	LAΤΕΧ
✕	U+2715	multiplication x	`✕`	`✕`	—	—
✖	U+2716	heavy multiplication x	`✖`	`✖`	—	—

Другие варианты и связанные символы:

U+2297 ⊗ circled times (HTML ⊗ · &otimes;)
U+2A09 ⨉ n-ary times operator (HTML ⨉)
U+2A2F ⨯ vector or cross product (HTML ⨯)
U+2A30 ⨰ multiplication sign with dot above (HTML ⨰)
U+2A31 ⨱ multiplication sign with underbar (HTML ⨱)
U+2A34 ⨴ multiplication sign in left half circle (HTML ⨴)
U+2A35 ⨵ multiplication sign in right half circle (HTML ⨵)
U+2A36 ⨶ circled multiplication sign with circumflex accent (HTML ⨶)
U+2A37 ⨷ multiplication sign in double circle (HTML ⨷)
U+2A3B ⨻ multiplication sign in triangle (HTML ⨻)
U+2AC1 ⫁ subset with multiplication sign below (HTML ⫁)
U+2AC2 ⫂ superset with multiplication sign below (HTML ⫂)

Примечания

1 2 ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах», с. 8.
1 2 Математическая энциклопедия, 1985.
↑ Математический оператор U+22C5 dot operator ⋅. Unicode отделяет его использование от пунктационного интерпункта U+00B7 middle dot ·. Unicode Consortium. 22C5 // Unicode 14.0.0 Code Charts. Mathematical Operators. Range: 2200-22FF (англ.). — 2021. — [Архивировано 15 июня 2018 года.]
1 2 3 Unicode14, 2021, 22.5 Mathematical symbols. Mathematical Operators: U+220-U+22F. Disunifications, с. 870.
↑ Mathematical Operator × U+00D7 multiplication sign Unicode Consortium. 00D7 // Unicode 14.0.0 Code Charts. C1 Controls and Latin-1 Supplement. Range: 0080-00FF (англ.). — 2021. — [Архивировано 15 июня 2018 года.]
↑ MathWorld.
1 2 Unicode14, 2021, 22.6 Invisible Mathematical Operators. Invisible Multiplication, с. 870.
1 2 Умножение : [арх. 19 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
↑ William Oughtred. Clavis Mathematicae. — 1667. — P. 10. — «лат. Multiplicatio speciosa connectit utramque magintudinem propositam cum notâ in vel ×: vel plerumque absque notâ, si magnitudines denotentur unica litera». Источник . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
1 2 Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 141. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.
1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.
↑ Cross Product . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
↑ Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 10. — 176 с.
↑ МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация», с. 30.
1 2 Знаки умножения на клавиатуре Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine.
1 2 w3c. HTML Living Standard. 13.5 Named character references (англ.). html.spec.whatwg.org (6 июля 2022). Дата обращения: 8 июля 2022. Архивировано 2 июля 2022 года.

См. также

Прямое произведение (Cartesian product)
Скалярное произведение (scalar product)
Векторное произведение (vector product)
Тензорное произведение (tensor product)
Предгильбертово пространство (inner product)
Свёртка (convolution)

Литература

Иванова О. А. Умножение чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 495—496. — 1248 с.
Математические знаки : [арх. 3 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929). — NY: Cosimo, 2007. — 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
Unicode Consortium. The unicode standard. Version 14 - Core Specification (англ.). — Mountain View, 2021. — ISBN 9781936213290.
5.4.6 «Умножение и деление обозначений величин, значений величин или чисел» // Международная система единиц SI. — 9-е изд. — Росстандарт, 2019. — С. 34. — 96 с.
ISO 80000-1:2009 «Quantities and units — Part 1: General», section 7.2.2 «Combination of symbols for units», section 7.3.3 «Multiplication and division „a cross or a half-high dot“».
ISO 80000-2:2019 «Quantities and units — Part 2: Mathematics», item 2-9.5 «half high dot or a cross».

Ссылки

Weisstein, Eric W. Times (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[gost-1] 1 2 ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах», с. 8.

[ME-2] 1 2 Математическая энциклопедия, 1985.

[3] Математический оператор U+22C5 dot operator ⋅. Unicode отделяет его использование от пунктационного интерпункта U+00B7 middle dot ·. Unicode Consortium. 22C5 // Unicode 14.0.0 Code Charts. Mathematical Operators. Range: 2200-22FF (англ.). — 2021. — [Архивировано 15 июня 2018 года.]

[_420b218da293b8fb-4] 1 2 3 Unicode14, 2021, 22.5 Mathematical symbols. Mathematical Operators: U+220-U+22F. Disunifications, с. 870.

[5] Mathematical Operator × U+00D7 multiplication sign Unicode Consortium. 00D7 // Unicode 14.0.0 Code Charts. C1 Controls and Latin-1 Supplement. Range: 0080-00FF (англ.). — 2021. — [Архивировано 15 июня 2018 года.]

[_d6eb3ac8945940f1-6] MathWorld.

[_f364041065d04f76-7] 1 2 Unicode14, 2021, 22.6 Invisible Mathematical Operators. Invisible Multiplication, с. 870.

[LEIB-8] 1 2 Умножение : [арх. 19 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

[9] William Oughtred. Clavis Mathematicae. — 1667. — P. 10. — «лат. Multiplicatio speciosa connectit utramque magintudinem propositam cum notâ in vel ×: vel plerumque absque notâ, si magnitudines denotentur unica litera». Источник . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

[AL141-10] 1 2 Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 141. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[CAJ1-186-11] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.

[CAJ1-217-12] 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.

[13] Cross Product . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.

[14] Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 10. — 176 с.

[15] МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация», с. 30.

[KB-16] 1 2 Знаки умножения на клавиатуре Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine.

[htmlspec-17] 1 2 w3c. HTML Living Standard. 13.5 Named character references (англ.). html.spec.whatwg.org (6 июля 2022). Дата обращения: 8 июля 2022. Архивировано 2 июля 2022 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Математические знаки
Знаки арифметических операций	Плюс (+) Минус (−) Знак умножения (· или ×) Знак деления (: или /) Обелюс (÷) Плюс-минус (±) Минус-плюс (∓)
Обозначения функций	Знак корня (√) Факториал (!) Эллиптические функции Вейерштрасса
Символы бинарных отношений	Знак равенства (=) Знак приближённого равенства (≈) Знак эквивалентности (≡) Знак неравенства (≠) Знаки «больше» и «меньше» (>, <) Знак пропорциональности (∝) Тильда (~)
Дифференциальные и интегральные операторы	Дифференциал (ⅅ, ⅆ) Частный дифференциал (∂) Набла (∇) Знак интеграла (∫) Преобразование Лапласа (ℒ) Преобразование Фурье (ℱ)
Логические символы	Квантор всеобщности (∀) Квантор существования (∃) Следовательно (∴) Так как (∵) Символ конца доказательства (∎)
Обозначения констант	Число Эйлера (ℯ, ⅇ) Постоянная Эйлера (ℇ) Мнимая единица (ⅈ, ⅉ) Знак бесконечности (∞)
Символы теории множеств	Символы принадлежности и включения (∈, ∉, ∋, ∌) Символы подмножеств и надмножеств (⊂, ⊃, ⊄, ⊅, ⊆, ⊇, ⊊, ⊋) Объединение (∪) Пересечение (∩) Разность (∖)
Обозначения множеств	Натуральные числа (ℕ) Целые числа (ℤ) Рациональные числа (ℚ) Вещественные числа (ℝ) Комплексные числа (ℂ) Кватернионы (ℍ)
Скобки	Круглые скобки (( )) Квадратные скобки ([ ]) Фигурные скобки ({ }) Угловые скобки (⟨ ⟩) Потолок и пол (⌈ ⌉, ⌊ ⌋)
Прочие знаки	Вертикальная черта (\|) Косая черта, слеш (/) Обратная косая черта, бэкслеш (\) Знак градуса (°) Штрих (′, ″, ‴, ⁗) Звёздочка (*) Циркумфлекс (ˆ) Процент (%) Промилле (‰) Десятичный разделитель (, или .)
Таблица математических символов История математических обозначений